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gamma函数 Beta函数和Gamma函数有什么用

伽玛函数(Gamma函数),也叫欧拉第二积分,是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数,也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

gamma函数——gamma函数历史背景

1728年,哥德巴赫在考虑数列插值的问题,通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合,例如数列1,4,9,16…..可以用通项公式n²自然的表达,即便n为实数的时候,这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,…,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢?我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上,确实可以看到,容易画出一条通过这些点的平滑曲线。但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题,于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利,由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利在一块,他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729年完美地解决了这个问题,由此导致了伽玛函数的诞生,当时欧拉只有22岁。

Beta函数和Gamma函数有什么用?

应用a.Beta函数和Gamma函数提供了大部分超几何函数(Hypergeometricfunctions)的理论基础。Gauss超几何级数的积分表示便是借助了Beta积分。而Mellin-Barnes积分表示则是借助了Gamma函数的性质,这使得超几何级数在复平面上的延拓得以通过一种统一的形式得以实现。

应用b.分数阶微积分,也就是通常牛顿-莱布尼茨微积分的推广,也依赖于Beta和Gamma函数的定义。你可以看一下Riemann-Liouville分数阶积分的定义。而由整数阶导数到分数阶导数(复数阶导数)的插值就是来源于Gamma函数实际上是阶乘n!的插值这一性质。

应用c.Riemannzetafunction的一个基本的积分表示其核心就是Gamma函数。而许多zeta函数的推广都离不开Gamma函数。

应用d.Laplace变换和Mellin变换,这两个十分重要的积分变换,可以十分好的统一在Gamma函数的积分表示上。也就是说,Gamma函数是指数函数的Mellin变换,同时还是幂函数的Laplace变换。

应用e.Beta函数本身可以用来构造概率分布。而高维的Beta函数,例如Dirichlet,Liouville型的Beta函数也在概率统计中有这重要的应用价值。

应用f.Selberg构造的一个特别重要的multidimensionalBetaintegral在解决MacdonaldConjecture的过程中也起到了很大的作用。而它本身现在也成为了一个十分重要的研究对象。

总之,从Gamma和Beta函数出发,已经生长出了足够我们穷尽一生去探究的数学分支,它们的重要性就包含在其中,近年来,关于完全单调函数类的研究非常多,从而衍生出了许多诸如logarithmically这样的更复杂的刻画。在涉及这些主题的论文中,Gamma函数经常作为构造完全单调函数的元素出现。如果大家还想了解更多与之有关的信息,欢迎关注我们文军营销的官网。

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